logを使って大きな数の桁数を求める

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ちょっと懐かしいのでプログラムと関係ないが解いてみた。

■条件

以下の条件が与えられている。

  • log102 = 0.3010
  • log103 = 0.4771
  • log107 = 0.8451

■3の100乗の桁数

  1. log103100 = 100log103 = 47.71
  2. 47 < log103100=47.71 < 48
  3. 1047 < 3100 < 1048

47桁

■3の100乗の最高位の数字

  1. log103100 = 47.71
  2. 3100 = 1047.71 = 1047 * 100.71

従って、100.71がわかれば良い。

  1. 100.3010 = 2
  2. 100.4771 = 3
  3. 100.8451 = 7

3と7の間という事は分かったがそれだけではどうしようもない。

  1. 1 = 100
  2. 4 = 100.3010 * 100.3010 = 100.6020
  3. 6 = 100.3010 * 100.4771 = 100.7781
  4. 9 = 100.4771 * 100.4771 = 100.9542

8と5については少しひねる。

  1. log108 = log1023 = 3log102
  2. 8 = 100.3010 * 3 = 100.9030
  3. log105 = log1010/2 = log1010 – log102
  4. 5 = 101 – 0.3110 = 100.6990

5 < 100.71 < 6なので5が最高位の数字。

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