@blog.justoneplanet.info

ちょっと懐かしいのでプログラムと関係ないが解いてみた。

■条件

以下の条件が与えられている。

• log₁₀2 = 0.3010
• log₁₀3 = 0.4771
• log₁₀7 = 0.8451

■3の100乗の桁数

1. log₁₀3¹⁰⁰ = 100log₁₀3 = 47.71
2. 47 < log₁₀3¹⁰⁰=47.71 < 48
3. 10⁴⁷ < 3¹⁰⁰ < 10⁴⁸

47桁

■3の100乗の最高位の数字

1. log₁₀3¹⁰⁰ = 47.71
2. 3¹⁰⁰ = 10^47.71 = 10⁴⁷ * 10^0.71

従って、10^0.71がわかれば良い。

1. 10^0.3010 = 2
2. 10^0.4771 = 3
3. 10^0.8451 = 7

3と7の間という事は分かったがそれだけではどうしようもない。

1. 1 = 10⁰
2. 4 = 10^0.3010 * 10^0.3010 = 10^0.6020
3. 6 = 10^0.3010 * 10^0.4771 = 10^0.7781
4. 9 = 10^0.4771 * 10^0.4771 = 10^0.9542

8と5については少しひねる。

1. log₁₀8 = log₁₀2³ = 3log₁₀²
2. 8 = 10^{0.3010 * 3} = 10^0.9030
3. log₁₀5 = log₁₀10/2 = log₁₀¹⁰ – log₁₀²
4. 5 = 10^{1 – 0.3110} = 10^0.6990

5 < 10^0.71 < 6なので5が最高位の数字。